번역자의 말
서문
1장 기초 주제
1.1 산술
1.2 계산
1.3 대수
1.4 기하학
1.5 미적분학
1.6 조합론
1.7 확률
1.8 논리학
1.9 역사
1.10 철학
2장 산술
2.1 유클리드 알고리즘
2.2 연분수
2.3 소수
2.4 유한 산술
2.5 이차 정수
2.6 가우스 정수
2.7 오일러의 증명 되돌아보기
2.8 √2와 펠 방정식
2.9 역사
2.10 철학
3장 계산
3.1 숫자 표기법
3.2 덧셈
3.3 곱셈
3.4 나눗셈
3.5 거듭제곱
3.6 P-NP 문제
3.7 튜링 기계
3.8 해결불가능한 문제
3.9 범용 기계
3.10 역사
3.11 철학
4장 대수
4.1 고전 대수
4.2 환
4.3 체
4.4 역수와 연관된 두 정리
4.5 벡터 공간
4.6 일차 종속, 기저, 차원
4.7 다항식 환
4.8 대수적 수 체
4.9 벡터 공간으로서의 수 체
4.10 역사
4.11 철학
5장 기하
5.1 수와 기하학
5.2 각에 대한 유클리드의 이론
5.3 넓이에 대한 유클리드의 이론
5.4 눈금 없는 자와 컴퍼스를 이용한 작도
5.5 연산의 기하적 실현
5.6 작도의 대수적 실현
5.7 벡터 공간의 기하
5.8 내적을 이용하여 길이 정의하기
5.9 작도가능한 수의 체
5.10 역사
5.11 철학
6장 미적분
6.1 기하급수
6.2 접선과 미분
6.3 도함수 구하기
6.4 곡선으로 제한된 영역의 넓이
6.5 ？？=？？？？ 아래의 넓이
6.6 미적분학의 기본정리
6.7 로그함수를 거듭제곱급수로 표현하기
6.8 탄젠트함수의 역함수와 π
6.9 초등함수
6.10 역사
6.11 철학
7장 조합론
7.1 소수의 무한성
7.2 이항 계수와 페르마의 소정리
7.3 생성 함수
7.4 그래프 이론
7.5 트리
7.6 평면 그래프
7.7 오일러의 다면체 정리
7.8 비평면 그래프
7.9 쾨니히 무한 보조정리
현대의 관점으로 다시 쓰는 유클리드의 『원론』
유클리드의 『원론』은 기초적인 내용을 분류하고 어떤 관점과 방법으로 수학적 대상들에 접근해야 하는지 제시해왔다. 수학사에서 2천 년 이상 영향을 미쳐온 이 고전은 오랜 전통이자 동시에 극복의 대상이기도 했다.
오늘날 기초 수학의 범주에 속하는 주제들이 언제나 ‘기초적’이라 여겨졌던 것은 아니며 그 주제들이 ‘기초’가 된 데에는 위대한 수학적 발견과 발전이 있었다. 기초 수학을 새로이 논의하기 위해서는 21세기 관점에서의 기초 주제들이 추가되어야 하고 ‘기초’라는 의미에 대해 보다 명확한 설명이 필요할 것이다.
이 책은 새로운 관점으로 수학의 스펙트럼을 폭넓게 확장하고 기초 수학과 고등 수학의 경계를 깊이 탐구한다. 수천 년에 걸쳐 수학자들이 수학의 기초를 어떻게 구축해왔는지, ‘기초적’이라는 개념이 수학사에서 어떻게 변화해왔는지 살펴보고, 역사적이고 철학적인 논의를 통해 서로 다른 주제들 사이에 발견되지 않았거나 숨겨져 있던 관계들을 찾아나간다.
책속에서
이 책의 핵심 주제어는 기초(elementary 수학과 고등(advanced 수학이다. 여기서의 ‘기초 수학’을 쉬운 수학 또는 학제상 어릴 때 배우는 수학과 동일시해선 안 된다. 수학자들의 연구를 통해 수학이 발전하면서 여러 가지 수학적 개념과 논증법 사이에 ‘수준’의 차이가 있다는 것이 밝혀졌고, 이를 어느 정도 객관적으로 구분할 수 있게 되었다. 이 책에서는 현대 수학 체계의 바탕에 기반을 형성하는 내용을 기초 수학이라고 부른다. 그리고 기초 수학의 내용을 설명하고, 그 범위가 어디까지인지, 고등 수학과의 경계선을 어디쯤 놓아야 할지를 탐색한다.
― 번역자의 말
이 책의 목표는 ‘기초적’이라는 말이 무슨 뜻인지 설명하는 것이다. 달리 말하면, 왜 수학의 어떤 논의가 다른 것에 비해 ‘더 기초적’으로 보이는지 그 이유를 설명하는 것이다. 기초적이라는 개념은 수학이 발전함에 따라 계속 변화해왔다고 보는 것이 타당하다. 실제로 오늘날 기
